Угол C треугольника ABC равен 150 ∘ . Из середины стороны AB на сторону BC опустили перпендикуляр. Найдите длину этого перпендикуляра усли AC=1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим перпендикуляр из середины стороны AB на сторону BC:

Обозначим середину стороны AB как точку M. Так как AM = MB, то треугольник AMC равнобедренный. Также угол CAB = 150 ∘, значит угол MAC = 180 - 150 / 2 = 75 ∘.

Теперь используем формулу косинусов в треугольнике AMC:
AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 AM CM cos(MAC)
1 = (CM / 2)^2 + CM^2 - 2 (CM / 2) CM cos(75)
1 = CM^2 / 4 + CM^2 - CM^2 sqrt(3) / 2
1 = 5 CM^2 / 4 - CM^2 sqrt(3) / 2
4 = 5 CM^2 - 2 CM^2 sqrt(3)
4 = CM^2 (5 - 2 sqrt(3))
CM = sqrt(4 / (5 - 2 sqrt(3)))
CM = sqrt(4 / (5 - 2 sqrt(3))) (5 + 2 sqrt(3)) / (5 + 2 sqrt(3))
CM = sqrt(20 + 8 sqrt(3)) / 5

Таким образом, длина перпендикуляра от середины стороны AB на сторону BC равна sqrt(20 + 8 * sqrt(3)) / 5.