Известно, что в треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, причем BC=7 , <BAC=30 градусов. Найти сумму радиусов описанных окружностей треугольников ABH, BCH, CAH

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Так как угол BAC равен 30 градусам, то треугольник ABC является прямоугольным. Так как AH - высота треугольника ABC, то AH - медиана и медиана делит сторону прямоугольного треугольника пополам, следовательно AB = AC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями:

sin(30 градусов) = AH / AC = 1 / 2, следовательно AH = AC / 2. Также можно воспользовать теорему Пифагора:

AB^2 + AC^2 = BC^2, следовательно AB^2 + AC^2 = 49, AB = AC и так как мы знаем, что AC = 2AH, то мы можем переписать уравнение на AC как:

(2AH)^2 + (2AH)^2 = 49, что приводит нас к 8AH^2 = 49, AH = √(49 / 8) = √(49) / √(8) = 7 / 2

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

S_ABC = (AC BC) / 2 = (14 7) / 2 = 49

Также, трианголи ABH, BCH и CAH подобны триугольнику ABC, а значит и их площади равны друг другу. А площадь треугольника можно найти по формуле s = abc / 4R, где a, b, c - стороны треугольника, а R - радиус описанной окружности.

Обозначим R1, R2 и R3 радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH соответственно.

Тогда s_ABH = s_BCH = s_CAH = 49/3 = (AB AH BH) / (4R1), следовательно R1 = (AB AH) / (4 (49/3)) = 2 AB AH / 49 = 14 / 49 = 2/7

Сумма радиусов описанных окружностей равна R1 + R2 + R3 = 2/7 + 2/7 + 2/7 = 6/7.