В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 2√3, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольной пирамиды SABC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника SAB:

SA^2 = SB^2 - AB^2
SA = √(4^2 + (2√3)^2) = √(16 + 12) = √28 = 2√7

Теперь найдем площадь основания треугольной пирамиды:

S_base = (1/2) AB BC = (1/2) 2√3 4 = 4√3

Площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью α, будет равна площади треугольника, образованного пересечением плоскости α с боковой стороной пирамиды. Этот треугольник будет прямоугольным, так как перпендикуляр к основанию пирамиды.

Пусть точка пересечения плоскости α с боковой стороной пирамиды обозначается как P. Так как MP = NP (середины сторон), то MPN прямоугольный. Найдем длину MP:

MP = (1/2) * SA = √7

Теперь можем найти высоту треугольника MPN:

h = √(MN^2 - MP^2) = √(AB^2/2 - MP^2) = √(12 - 7) = √5

И, наконец, находим площадь треугольника MPN:

S_triang = (1/2) MN h = (1/2) AB/2 √5 = (1/4) 2√3 √5 = (1/2) * √15

Таким образом, площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α, равна √15.