Две окружности касаются внешним образом.их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30 град.,длинна отрезка касательной между точками касания 108 см.Найти радиусы окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиусы окружностей как R1 и R2. Так как касательные наклонены к линии центров под углом 30 градусов, то угол между радиусами окружностей также равен 30 градусов.

Пусть точки касания касательных с окружностями обозначим как A и B, где A принадлежит первой окружности, а B - второй.

Так как AB = 108 см, то AB = R1 + R2.

Также, из прямоугольного треугольника AOB:

(AB)^2 = (AO)^2 + (OB)^2.

С другой стороны, угол между R1 и R2 равен 30 градусов, поэтому AO = R1 sin(30 градусов) = R1 0.5 и OB = R2 sin(30 градусов) = R2 0.5. Подставим это в уравнение выше:

(R1 + R2)^2 = (R1 0.5)^2 + (R2 0.5)^2
R1^2 + 2R1R2 + R2^2 = 0.25R1^2 + 0.25R2^2
0.75R1^2 + 1.75R1R2 + 0.75R2^2 = 0
3R1^2 + 7R1R2 + 3R2^2 = 0.

Также, из условия принадлежности точек A и B окружностям:

R1 + R2 = 108

Теперь у нас есть система из 3 уравнений с 3 неизвестными R1, R2 и A:

1) R1 + R2 = 108
2) 3R1^2 + 7R1R2 + 3R2^2 = 0
3) R1 = 108 - R2

Решив эту систему уравнений, найдем радиусы окружностей:

R1 = 36, R2 = 72.