О- точка пересечения диагоналей четырехугольника . о1,о2 ,о3 и о4 - центры описанных окружностей треугольников аво, вос, сод и аод соответственно.
Докажите, что четырехугольник о1о2о3о4 является параллелограммом.
Найдите площадь четырехугольника о1о2о3о4, если площадь четырехугольника авсд равна 6 и его диагонали образуют угол 30 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что точки о1, о2, о3 и о4 являются серединами соответствующих диагоналей четырехугольника. Так как диагонали четырехугольника пересекаются в его точке пересечения, то о1о2 параллельно о3о4 (как медианы треугольника), и о2о3 параллельно о1о4 (также как медианы пересекающихся точек). Следовательно, четырехугольник о1о2о3о4 - это параллелограмм.

Для нахождения площади четырехугольника о1о2о3о4 воспользуемся тем, что треугольник авсд является равнобедренным и его диагонали образуют угол 30 градусов. Из этого следует, что его высоты равны и равны половине длины основания. Так как площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения длины основания на его высоту, получаем, что площадь четырехугольника авсд равна своим диагоналям (основаниям) умноженным на синус угла между ними: 6 = d1d2sin(30°).

Так как четырехугольник о1о2о3о4 - это параллелограмм и его диагонали равны диагоналям четырехугольника авсд, то площадь четырехугольника о1о2о3о4 равна 6 умноженным на синус 30 градусов: S = 6 sin(30°) = 6 0,5 = 3.

Итак, площадь четырехугольника о1о2о3о4 равна 3.