Точка С - середина отрезка AB.На отрезках AC и BC взяты точки M и N, причем AM:MC=CN:NB. Докажите,что отрезок MN равен половине отрезка AB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AC = a, CB = b и AB = c.

Так как точка C - середина отрезка AB, то AC = CB = c/2 = a = b.
Пусть AM = x и CN = y.

Тогда MC = a - x и NB = b - y.

Так как AM:MC = CN:NB, то x / (a - x) = y / (b - y) или x(b - y) = y(a - x).

Рассмотрим отношение отрезков MN и AB: MN / AB = (x + y) / (a + b) = (x + y) / c.

Преобразуем это выражение: (x + y) = cy / (a - x) = bx / (b - y).

Таким образом, MN / AB = (cy / (a - x) + bx / (b - y)) / c = (cb x - cy y + ba y - bx x) / (c * (a - x)(b - y)) = 0.

Отсюда следует, что отрезок MN равен половине отрезка AB, что и требовалось доказать.