Из точки данной на окружности проведены две взаимно перпендекулярны хорды. Отрезок соединяющий их вершины равен 6. Найдите радиус окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть отрезок, соединяющий центр окружности с точкой пересечения хорд, равен х. Тогда по теореме Пифагора для полученных треугольников
$
\begin{cases
x^2 + 3^2 = r^2,
x^2 + 3^2 = r^2
\end{cases
$
Отсюда
$
x^2 = r^2 - 9
$
Подставим это выражение в следующие равенства
$
\begin{cases
(6+x)^2 + x^2 = r^2,
(6+x)^2 + x^2 = r^2
\end{cases
$
Подставим $x^2 = r^2 - 9$ в оба уравнения
$
\begin{cases
(6+\sqrt{r^2-9})^2 + (r^2-9) = r^2,
(6-\sqrt{r^2-9})^2 + (r^2-9) = r^2
\end{cases
$
Решив эту систему уравнений, получим, что радиус окружности равен 5.