Высота равнобедренной трапеции, проведённая из тупого угла, делит большее основание на отрезки 5 см и 2 см. Найдите основания трапеции и её среднюю линию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основания трапеции как a и b, а среднюю линию - с. Также обозначим высоту трапеции как h.

Так как высота трапеции делит большее основание на отрезки 5 см и 2 см, то можем записать уравнение:

a = 5 + 2 = 7

Так как трапеция равнобедренная, то высота разделяет её на два равнобедренных треугольника, значит, средняя линия равна полусумме оснований:

с = (a + b) / 2

Так как высота равнобедренной трапеции проведена из тупого угла, то треугольник с вершиной в тупом угле тоже равнобедренный. Таким образом, высота равна биссектрисе этого треугольника. Из этого можно составить уравнение:

b / a = h / sqrt(a^2 - h^2)

В нашем случае a = 7

b / 7 = h / sqrt(49 - h^2)

b = 7h / sqrt(49 - h^2)

Также мы знаем, что h^2 + (b/2)^2 = a^2
h^2 + (b/2)^2 = 25

h^2 + (7h / 2sqrt(49 - h^2))^2 = 25

h^2 + 49h^2 / 4(49 - h^2) = 25

4h^2(49 - h^2) + 49h^2 = 100(49 - h^2)

196h^2 - 4h^4 + 49h^2 = 4900 - 100h^2

245h^2 - 4h^4 = 4900

4h^4 - 245h^2 + 4900 = 0

Данное уравнение можно решить с помощью подстановки переменной. Полученное значение переменной подставить обратно в уравнения для оснований и средней линии.