Докажите, что отрезок соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше полусуммы его диагоналей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения обозначим середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника как точки M и N. Обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D, а диагонали как AC и BD. Пусть точка M соединяет середину стороны AD с серединой стороны BC, а точка N - середину стороны AB со стороной CD.

Так как MN является средней линией треугольника ADC, то её длина равна половине длины диагонали AC. Аналогично, MN является средней линией треугольника BCD, значит, её длина равна половине длины диагонали BD.

Итак, длина отрезка MN равна полусумме длин диагоналей AC и BD.

Теперь рассмотрим отрезок AC и отрезок MN. Треугольник AMC - это четырехугольник, у которого одна сторона равна стороне AC, а другая сторона равна стороне MN, соединяющей середины. Так как в треугольнике AMC сторона MN является медианой, она меньше половины длины стороны AC. Аналогично, отрезок из точки N в точку C меньше, чем половина длины диагонали BD.

Следовательно, отрезок MN меньше полусуммы длин диагоналей AC и BD.