В треугольнике ABC проведены высоты AN и BM и отмечена точка K – середина стороны
AB. Найдите площадь треугольника MNK, если известно, что угол ACB равен 105, а длина AB равна 16.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AM и BN - это высоты треугольника ABC, то они ортогональны соответственно к NB и MA.
Тогда треугольники MKN и ABC подобны (по двум сторонам и общему углу АКN). Также угол АКN равен 90°, потому что К – середина гипотенузы АВ.

Обозначим через х длину МК. Тогда длина НК равна 0,5*16 = 8. По теореме Пифагора получаем:

МН^2 + 64 = НМ^2.

Так как треугольники МКН и ABC подобны, то коэффициент подобия равен 0,5. То есть MN = 0,516 = 8 и МК = 0,5х.
По теореме Пифагора:

(0,5*х)^2 + 64 = 8^2,
0,25х^2 = 64,
х^2 = 64 / 0,25,
х^2 = 256,
х = 16.

Таким образом, длина МК равна 16, а площадь треугольника MNK равна 0,5 8 16 = 64.