Найти площадь фигуры ограниченной линиями [tex]y = - {x}^{2} + 1[/tex]и [tex]y = x + 1[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры ограниченной этими двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения.

Поставим два уравнения равными друг другу:
[tex]- {x}^{2} + 1 = x + 1[/tex]

Приведем подобные члены к одной стороне:
[tex]- {x}^{2} - x = 0[/tex]

Факторизуем выражение:
[tex]- x (x + 1) = 0[/tex]

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = -1.

Теперь можем найти значения y для каждой из кривых:
Подставим x=0 в оба уравнения:
Для y = -x^2 + 1, получаем y = 1
Для y = x + 1, получаем y = 1

Подставим x=-1 в оба уравнения:
Для y = -x^2 + 1, получаем y = 0
Для y = x + 1, получаем y = 0

Итак, получаем, что точки пересечения кривых это (0, 1) и (-1, 0).

Теперь для нахождения площади фигуры необходимо найти площадь между кривыми. Для этого можно воспользоваться формулой интеграла:
[tex]S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx[/tex]

Где f(x) и g(x) - уравнения кривых, а a и b - точки пересечения.
Подставляем наши уравнения и точки пересечения:
[tex]S = \int_{-1}^{0} ((-x^{2} + 1) - (x + 1)) dx[/tex]

Решаем интеграл:
[tex]S = \int{-1}^{0} (-x^{2} - x) dx[/tex]
[tex]S = [-\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}] \Big|{-1}^{0}[/tex]
[tex]S = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}[/tex]

Таким образом, площадь фигуры ограниченная данными кривыми равна 1/6.