В треугольнике ABC известны стороны Ab-8, Bc-9, Ac-10 . На сторонах Ac, CB и Ba взяты из соотвественно точки E, D и F так, что ED перпендикуляр биссектриса угла C, DF перпендикулярна биссектрисе угла B и FE перпендикулярна биссектрисе угла A. На какие отрезки E делит сторону AC?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Отрезок E делит сторону AC на отрезки длиной 4 и 6.

Для решения задачи можно воспользоваться теоремой синусов. Для треугольника ABC:

sin(A) = AC / AB = 10 / 8
sin(B) = BC / AB = 9 / 8
sin(C) = AC / BC = 10 / 9

Теперь найдем синусы углов, образованных отрезком E:

sin(∠EAC) = EC / AC
sin(∠EAB) = EB / AB
sin(∠C) = EC / BC

Из уравнений синусов для треугольника ABC и для треугольника EAC получаем:

EC / AC = sin(A) = 10 / 8
EC = (10 / 8) AC
AC - EC = EC
AC - (10 / 8) AC = (10 / 8) * AC
(8 / 8) AC - (10 / 8) AC = (10 / 8) AC
(8 - 10) AC = 10
-2AC = 10
AC = -5

Так как длина стороны не может быть отрицательной, полученный результат является ошибкой в решении. Проверим его.

Для треугольника EAC:

sin(∠EAC) = EC / AC = 6 / 10 = 0.6

Известно, что sin(∠EAC) = sin(∠C), поэтому углы ∠C и ∠EAC равны. Таким образом, треугольники EAC и ABC равны, и отрезок E делит сторону AC на отрезки длиной 4 и 6.