Диагональ прямого параллелепипеда, имеющего в основании квадрат, равна 4 и образует с плоскостью основания угол 30 градусов. Найти объем параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона квадрата основания прямоугольника равна а, а высота параллелепипеда равна h.

Так как диагональ равна 4, то по теореме Пифагора имеем:
a^2 + a^2 = 4^2
2a^2 = 16
a^2 = 8
a = √8 = 2√2

Также из условия известно, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 30 градусов. Так как диагональ делит параллелепипед на два равных тетраэдра, то угол между диагональю и одной из боковых граней параллелепипеда будет составлять 60 градусов.

Теперь рассмотрим один из тетраэдров, образованных диагональю и двумя рёбрами основания. Этот тетраэдр представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой 4, катетом 2, а значит, второй катет также равен 2.

Таким образом, получаем, что высота параллелепипеда h равна 2.

Теперь можем найти объем параллелепипеда:
V = a^2 h = (2√2)^2 2 = 8

Ответ: Объем параллелепипеда равен 8.