Точка М удалена от сторон угла в 60 гр. на расстояния √3 и на 3√3 (основания перпендикуляров, опущенных из М на стороны угла , лежат на сторонах, а не на их продолжениях ). Прямая, проходящая через М , пересекает стороны угла и отсекает треугольник периметра 12. Найти площадь этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка М находится на стороне угла в 60 градусов на расстоянии √3 от вершины угла и на расстоянии 3√3 от вершины. Обозначим вершину угла как A, точку пересечения прямой с одной из сторон угла как B, а точку пересечения с другой стороной как C.

Так как отрезки, проведенные из точки M к сторонам угла являются перпендикулярами, то треугольник AMB и треугольник AMC равнобедренные. Также, угол BAC = 60 градусов, поэтому треугольники AMB и AMC равны и подобны.

Пусть AC = x, тогда BC = 12 - x.
Так как треугольники AMB и AMC подобны, то AB/AM = BC/AC, откуда √3/(√3 + 3√3) = (12 - x)/x.
Решая это уравнение, находим, что x = 2,4.

Теперь можем найти длины сторон треугольника. Так как треугольник AMB и AMC равнобедренные, то AB = AM = √3, а AC = x = 2,4.
Теперь можем найти высоту треугольника из вершины A: h = √3 sin 60 = √3 √3 / 2 = 3 / 2.

Используя формулу площади треугольника через высоту, находим S = 1/2 AB h = 1/2 √3 3 / 2 = 3/4.

Таким образом, площадь треугольника равна 3/4.