Хорда AB делит окружность в отношении 11:7.Найти в градусах меньший из вписанных углов,омирающихся на эту хорду

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что хорда AB делит окружность на две дуги в отношении 11:7. Пусть α и β - вписанные углы, омирающиеся на эту хорду, их дуги будут соответственно 11x и 7x градусов.

Так как сумма вписанных углов, омирающихся на одну хорду, равна 180 градусов, то α + β = 180.

Из закона косинусов для треугольника с центральным углом 2α:

cos(2α) = cos(180-β) = -cos(β)

Так как дуга соответствующая углу β равна 7x градусов:

cos(2α) = -cos(7x)

Подставляем значение косинуса удвоенного угла через косинус одного угла:

cos^2(α) - sin^2(α) = -cos(7x)

С помощью формулы сокращенного умножения находим:

cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α) = 2cos^2(α) - 1

Из этих двух равенств находим:

2cos^2(α) - 1 = -cos(7x)

Подставляем cos(7x) через косинусы α и β:

2cos^2(α) - 1 = -cos(7x) = -2cos(α)cos(β)

Подставляем cos(β) через синус α:

2cos^2(α) - 1 = -2cos(α)sin(α)

Получаем квадратное уравнение относительно cos(α):

2cos^2(α) + 2cos(α)sin(α) - 1 = 0

Решаем уравнение и находим cos(α), затем вычисляем угол α.
После этого находим угол β через синус α.
Находим меньший из двух углов и переводим его в градусы.