Продолжения боковых сторон АВ и СD пересекаются в точке К. Найдите площадь трапеции АВСD если известно что ВС:СD=3:5, а площадь треугольника ВСК равна 27 см^2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны трапеции следующим образом: AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Площадь треугольника ВСК равна: S_ВСК = 0.5 b h, где h - высота треугольника из вершины К. Но, так как ВС и DA параллельны, то треугольники ВСК и АDK подобны и их высоты взаимно пропорциональны, то есть h/(h + 5b) = b/a, откуда h = 5ab/(a - b).
Отсюда S_ВСК = 0.5 b 5ab/(a - b) = 27, что равно b ab/(a - b) = 272 = 54.

Также, из условия ВС:CD=3:5 получаем, что CD = 5c/3 и BC = 3b/5.

Так как площадь трапеции равна S = 0.5 (BC + DA) h, где h - высота трапеции, то мы можем представить высоту h через a и b следующим образом: h = 5ab/(a - b).

Теперь можем записать выражение для площади S через a и b:
S = 0.5 (3b/5 + a) 5ab/(a - b)
S = 1/2 (8ab + 5a^2 - 3ab) = 1/2 (5a^2 + 5ab) = 5a(a + b).

Мы знаем, что S = 54 + 27 = 81, поэтому 5a(a + b) = 81.

Теперь для нахождения a и b, решим систему уравнений:
5a(a + b) = 81
a/b = 3/5

Решением этой системы будет a=9, b=15, откуда S = 5 9 (9 + 15) = 540 см^2.

Итак, площадь трапеции АВСD равна 540 квадратных сантиметров.