В остроугольном треугольнике ABC AD перпендикулярно BC, CF ,перпендикулярно AB, AD пересекает CF в точке M. Докажите что угол ABM = углу MCA

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи имеем, что треугольник ABC остроугольный, то есть все углы его меньше 90 градусов. Значит, угол BAC = 90 градусов. Поскольку AD перпендикулярно BC, то угол BAD = угол ACB = 90 градусов.

Теперь посмотрим на треугольник ADM. Угол MAD = 90 градусов (так как AD перпендикулярно CF), угол MDA = угол CBA (по построению), угол AMD = угол A (по построению). Таким образом, по теореме о сумме углов треугольника получаем, что углы MAD + MDA + AMD = 180 градусов, откуда (90 + угол CBA + угол A) = 180 градусов, то есть угол MDA + угол CBA + угол A = 90 градусов.

С другой стороны, в треугольнике CMA угол MCA = угол C, угол ACM = 90 - угол CBA (как дополнение к углу CBA), угол MAC = угол B (по построению). Опять же, применяя теорему о сумме углов в треугольнике, получаем, что углы MCA + ACM + MAC = 180 градусов, то есть угол C + 90 - угол CBA + угол B = 180 градусов, откуда (90 + угол B - угол CBA + угол C) = 180 градусов, то есть угол B - угол CBA + угол C = 90 градусов.

Таким образом, у нас получились два равенства: угол MDA + угол CBA + угол A = 90 градусов и угол B - угол CBA + угол C = 90 градусов. Сложим эти уравнения и проведем несложные алгебраические преобразования:

(угол MDA + угол CBA + угол A) + (угол B - угол CBA + угол C) = 180 градусов,
90 + угол B + угол C + угол A = 180 градусов,
угол B + угол C + угол A = 90 градусов.

Но мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, поэтому угол B + угол C + угол A = 180 градусов. Получаем уравнение: 90 = 180, что явно неверно.

Следовательно, в данной задаче ошибка.