Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D . а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника BED , если AB = 20 и ∠ABC=60°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Из условия задачи следует, что EM = MF и EN = NF. Так как EM = MF, то ME || NF, а значит, угол MNE = ENF. Также, углы EMN и FNE являются соответственными углами при параллельных прямых MN и EF, поэтому они равны.

Из равенства углов и равенства сторон следует, что треугольник MNE равнобедренный. Так как ME = EN, то углы NME и MEN будут равными.

Таким образом, углы MNE и NEM равны между собой, что говорит о равносторонности треугольника DFN.

б) Так как NF = NE (так как NF - середина стороны AC треугольника ABC), то у треугольника NEB стороны NB и NE равны. Также следует, что треугольник BNE равносторонний. Это означает, что угол NEB равен 60 градусов, так как треугольник ABC задан таким образом.

Так как NB = NE = 10 (половина AB), а угол NEB равен 60 градусов, можно использовать формулу для площади треугольника через половину произведения стороны на синус угла:
S = (1/2) 10 10 sin(60) = 50 √3.

Итак, площадь треугольника BED равна 50√3.