Очень надо!!!!!
Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон BC и AC в точках M и N соответственно, E и F — середины сторон AB и AC соответственно. Прямые MN и EF пересекаются в точке D . а) Докажите, что треугольник DFN равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника BED , если AB = 20 и ∠ABC=60°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для доказательства равнобедренности треугольника DFN заметим, что треугольники ABC и NAE подобны по трем углам, так как углы при основании треугольника ABC равны. Значит, DN/NC = AF/FE.

Аналогично мы можем доказать, что треугольники ABC и NAF подобны, поэтому DN/NC = AE/EB.

Отсюда следует, что AF/FE = AE/EB и, следовательно, треугольники EAF и EFB подобны. Так как точка D лежит на их общей биссектрисе, то FD/DE = FN/NE. Но по тому, что угол FNE равен углу FNM (по свойству касательных), мы имеем равенство FN/NE = FM/MD.

Из этих равенств следует, что FD/DE = FM/MD, что и означает равнобедренность треугольника DFN.

б) Из равнобедренности треугольника DFN следует, что угол FDN равен углу FND, то есть треугольник FDN также равнобедренный. Мы знаем, что FD/DE = FM/MD, следовательно, FDMD = FMDE.

Из равнобедренности треугольника FDN можно найти значение MD через стороны треугольника ABC: MD = AD - AM = (AB + AC - BC)/2.

Также из равнобедренности треугольника FDN можно найти значение FD: FD = FN - DN = (BC + AC - AB)/2.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BED как половину произведения его высоты и основания: S = (DE FD)/2. Подставляем найденные значения и получаем, что S = (ACBC)/8. В данном случае, если AB = 20 и ∠ABC = 60°, то AC = 20cos(60°) = 10 и BC = 20sin(60°) = 10*sqrt(3).

Итак, S = 1010sqrt(3)/8 = 25*sqrt(3).