Вычислить радиус основания r и высоту h цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса 9 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего объёма цилиндра, который можно вписать в сферу, нужно использовать метод дифференциального исчисления.

Обозначим радиус цилиндра как r и высоту как h. Тогда объём цилиндра можно выразить как V = πr^2h.

Так как цилиндр вписан в сферу, его диаметр равен диаметру сферы, то есть 2r=9 см, откуда получаем r=4.5 см.

Также, так как цилиндр вписан в сферу, его высота не должна превышать диаметр сферы, то есть h <= 9 см.

Теперь найдем выражение для объёма цилиндра через одну переменную:

V = π(4.5)^2h = 20.25πh

Теперь нужно найти значение h, при котором объем V будет максимальным. Для этого продифференцируем V по h и прировняем производную к нулю:

dV/dh = 20.25π = 0
h = 0

Таким образом, высота цилиндра h=0. Это означает, что цилиндр с наибольшим объёмом, который можно вписать в сферу радиусом 9 см, это цилиндр высотой 0 см, то есть плоскость.