Дана трапеция ABCD с основаниями AD=20 и BC=8, О -точка пересечения диагоналей. Разложите вектор DO по векторам AD, a и AB=b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы разложить вектор $\overrightarrow{DO}$ по векторам $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{AB}$, нам нужно найти координаты вектора $\overrightarrow{DO}$ и выразить их через координаты указанных векторов.

Так как точка $O$ - точка пересечения диагоналей, то вектор $\overrightarrow{DO}$ равен полусумме векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$:
$$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$$

Так как AB || CD и BC || AD, то $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{BA}$.

Найдем координаты векторов:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD}$
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OD}$

Так как О - точка пересечения диагоналей, то точка A делит диагональ BD пополам:
$\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AO}$

Таким образом, получим:
$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AO}) = \frac{1}{2}(2\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{OD})$

Учитывая, что $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{AB}$, получим:
$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2}(-2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{OD})$

Таким образом, вектор $\overrightarrow{DO}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{AB}$ следующим образом:
$\overrightarrow{DO} = -\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$