Точка М удалена от плоскости прямоугольного треугольника на расстояние равное 5√3 и равноудалена от каждой его стороны. Найдите расстояние от точки М до каждой из сторон этого треугольника, если его гипотенуза и один из катетов равны соответственно 25 и 15.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC прямоугольный, где AB - гипотенуза, а BC - один из катетов.

Так как точка M равноудалена от всех сторон треугольника, то искомое расстояние от нее до стороны треугольника равно расстоянию от нее до прямой, содержащей эту сторону. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки М до прямой, проходящей через две точки A и B.

Поскольку треугольник ABC - прямоугольный, то точки A и B можно представить в виде векторов:
A = (0, 15)
B = (25, 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно найти по формуле:
(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)

В нашем случае:
(y - 15)/(0 - 15) = (x - 0)/(25 - 0)

Отсюда уравнение прямой:
y = -15x/25 + 15

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой и ее перпендикуляра, исходящего из точки М. Пусть координаты точки М равны (x, y).

Уравнение перпендикуляра к прямой y = -15x/25 + 15, проходящему через точку M(x, y), имеет вид:
y = (25/15)x + b
y = 5/3*x + b

Точка пересечения прямой и перпендикуляра лежит на обоих прямых, поэтому их значения y должны быть равны:
-15x/25 + 15 = 5/3*x + b

Из условия равноудаленности точки М от стороны треугольника следует, что расстояние от точки М до стороны треугольника равно модулю значения y в точке пересечения. Найдем точку пересечения различными методами. Форматирование уравнений на решение Metamath

Таким образом, расстояние от точки М до каждой из сторон треугольника ABC:
dist(BC) = |y| = |-105/29 + 435/29| = 330/29
dist(AB) = dist(BM) = dist(CM) = 5√3

Итак, расстояние от точки М до стороны треугольника, составляет 330/29, а до гипотенузы 5√3.