Дан треугольник ABC, точка M принадлежит отрезку AB, точка K принадлежит отрезку BC, MK//AC, BM:MA=2:5. площадь ABC=98. Найдите площадь четырехугольника AMKC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем свойство подобных треугольников: отрезок, проведенный из вершины треугольника параллельно одной из сторон, делит другие стороны пропорционально. Так как MK//AC, то по свойству отношения сторон в подобных треугольниках можно записать:

BK/KC = BM/MA = 2/5

Теперь заметим, что треугольники ABC и AMK подобны, так как они имеют два угла, равные друг другу (и равные соответственно из двух параллельных прямых). Пусть коэффициент подобия между данными треугольниками равен k. Тогда:

S(AMK) = (k^2)S(ABC) = 98k^2

С учетом пропорционального деления сторон в треугольниках AMK и ABC, а также того что S(ABC) = 98, получаем:

(AM/MC)^2 = S(AMK)/S(ABC) = (98k^2)/98 = k^2

Таким образом:

AM/MC = k

BM/MA = BK/MC = 2/5

(AM+BM)/MC = 7/5

Аналогично можно записать:

BK/KC = 2/5

CK/AM = 5/2

(CK+KC)/AM = 7/2

Суммарно имеем:

(CK+KC)/AM = 7/2

CK+KC = 7AM/2

CK + 2MC = CK + MC + MC = 7AM/2

MC = 7AM/4

Таким образом, площадь четырехугольника AMKC равна:

S(AMKC) = S(ABC) - S(AMK) = 98 - 98k^2

S(AMKC) = 98 - 98*(AM/MC)^2

S(AMKC) = 98 - 98(4/7)^2 = 98 - 98(16/49) = 98 - 32 = 66

Итак, площадь четырехугольника AMKC составляет 66.