Сумма катетов прямоугольного треугольника равна х, а сумма их квадратов равна y^2. Выразите площадь треугольника S через значения x и y

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим катеты треугольника через a и b. Тогда a + b = x, а a^2 + b^2 = y^2.

Из первого уравнения найдем, что b = x - a. Подставим это во второе уравнение:

a^2 + (x - a)^2 = y^2
a^2 + x^2 - 2ax + a^2 = y^2
2a^2 - 2ax + x^2 - y^2 = 0

Теперь найдем значение а:
D = (-2x)^2 - 42(x^2 - y^2) = 4x^2 - 8x^2 + 8y^2 = -4x^2 + 8y^2

a = (2x ± √(-4x^2 + 8y^2)) / 4 = (2x ± 2√(y^2 - x^2)) / 4 = (x ± √(y^2 - x^2)) / 2

Площадь треугольника равна S = (a b) / 2 = ((x - a) a) / 2 = (x*a - a^2) / 2

Подставим значение a:

S = (x(x ± √(y^2 - x^2)) / 2 - ((x ± √(y^2 - x^2)) / 2)^2 = (x^2 ± x√(y^2 - x^2) - (x^2 ± 2x√(y^2 - x^2) + (y^2 - x^2)) / 4 = (√(y^2 - x^2)(y^2 - x^2)) / 4

Таким образом, площадь треугольника равна S = (√(y^2 - x^2)*(y^2 - x^2)) / 4.