Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а площадь диагонального сечения равна Q.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно найти высоту и периметр основания пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где катетом является радиус окружности, вписанной в основание пирамиды (она проходит через точку пересечения диагонали сечения и бокового ребра), а гипотенузой - диагональ сечения.

Так как угол между радиусом и диагональю сечения равен 45°, то у нас получается прямоугольный треугольник.

По условию известно, что площадь диагонального сечения равна Q, тогда можем записать, что

(S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot Q).

Теперь найдем высоту треугольника. Мы знаем, что угол между диагональю и высотой равен 45°, поэтому можем записать

(h = r \cdot \sin(45°) = \frac{r}{\sqrt{2}}).

Далее найдем периметр основания пирамиды. Поскольку это четырехугольная пирамида, а угол между стороной основания и боковой гранью равен 45°, то сторона основания равна

(a = 2 \cdot r).

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. По формуле площади боковой поверхности (S_b = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h), где P - периметр основания пирамиды.

Подставляя известные значения, получаем

(S_b = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{r^2}{\sqrt{2}}).