Диагонали трапеции ABCDABCD с основаниями ABAB и CDCDпересекаются в точке OO.Найти OBOB если известно, что AB=40AB=40, BD=45BD=45, DC=50DC=50.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой в углах между диагоналями трапеции. Известно, что у диагоналей трапеции углы равны друг другу, то есть ∠OAB=∠ODC, а также ∠OBA=∠OCD.

Также заметим, что треугольники AOB и DOC подобны (по двум углам), так как у них совпадают два угла:

∠OAB = ∠ODC (по теореме в углах между диагоналями трапеции)
∠OBA = ∠OCD (по теореме в углах между диагоналями трапеции)

Теперь можем записать пропорцию подобных треугольников:

(AO)/(OD) = (OB)/(DC)

Так как известны AO, OD и DC, можем найти OB:

(40)/(45+OB) = OB/50

5040 = (45+OB)OB

2000 = 45OB + OB^2

OB^2 + 45OB - 2000 = 0

Решив это квадратное уравнение, получим два решения (одно из них будет отрицательным, для нашего случая его можно проигнорировать):

OB ≈ 25

Итак, OB ≈ 25.