В треугольнике ABC биссектрисы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольников AOC и BOC, если AC = 8см; BC= 6см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины отрезков AO и BO.

Пусть AC = 8, то в таком случае BC = 6, AO = 8k и BO = 6k (где k - коэффициент пропорциональности).

Так как точка O - точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то AO/OC = AB/CB.

Из косинусного правила в треугольнике ACB найдем AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC * cos(∠AOB).

AC = 8, BC = 6, угол ∠AOB = 90°:

AB = sqrt(8^2 + 6^2 - 2 8 6 cos(90°)) = sqrt(64 + 36 - 96 0) = sqrt(100) = 10.

Следовательно, AO/OC = AB/CB => 8k/(8k+6k) = 10/6.

Решая это уравнение, найдем k:
8k/14k = 10/6,
8/14 = 10/6,
6 8 = 10 14,
48 = 140,
k = 140/48 = 35/12.

Теперь найдем площади треугольников AOC и BOC:

S(AOC) = (1/2)ACAOsin(∠OAC) = (1/2)8(35/12)sin(∠OAC),
S(BOC) = (1/2)BCBOsin(∠OBC) = (1/2)6(35/12)sin(∠OBC).

Так как ∠OAC = ∠OBC (так как О - точка пересечения биссектрис), то sin(∠OAC) = sin(∠OBC).

Так как площади треугольников пропорциональны произведениям баз и высот, то:

S(AOC)/S(BOC) = (1/2)8(35/12)/((1/2)6(35/12)) = 4/3.

Таким образом, отношение площадей треугольников AOC и BOC равно 4/3.