Длина линии пересечения сферы и плоскости проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 7π см. найдите диаметр сферы , площадь поверхности сферы, объем шара, ограниченного данной сферой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть d - диаметр сферы, тогда радиус этой сферы равен r = d / 2.

Площадь поверхности сферы S = 4πr^2 = 4π(d/2)^2 = πd^2.

Объем шара V = (4/3)πr^3 = (4/3)π(d/2)^3 = (1/6)πd^3.

Так как длина линии пересечения сферы и плоскости равна 7π см, то радиус линии пересечения (которая в данном случае является окружностью) равен r_line = 7 см.

Так как плоскость проходит через конец диаметра под углом 60° к нему, то радиус сферы и линии пересечения вместе с частью этой плоскости образуют равносторонний треугольник. Таким образом, длина полудиагонали этого треугольника равна d.

По теореме косинусов для этого треугольника:

d^2 = r^2 + r_line^2 - 2rr_line*cos(60°).

Подставляем известные значения и находим:

d^2 = (d/2)^2 + 7^2 - 2(d/2)7*0.5;

d^2 = d^2 / 4 + 49 - 7d;

3d^2 / 4 = 49;

d^2 = 49 * 4 / 3;

d = 28 / sqrt(3) см.

Теперь подставляем найденное значение диаметра обратно в формулы для площади поверхности сферы и объема шара:

S = π*(28/sqrt(3))^2 ≈ 102π см^2;

V = (1/6)π*(28/sqrt(3))^3 ≈ 193π см^3.

Итак, диаметр сферы равен 28 / sqrt(3) см, площадь поверхности сферы равна примерно 102π см^2, а объем шара, ограниченного данной сферой, равен примерно 193π см^3.