1. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NК в точке О, причем ОК = 9 см. Найти расстояние от точки О до прямой MN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника MNO. Так как точка О лежит на биссектрисе треугольника MNP, она делит сторону MN на отрезки в пропорциях соответствующих смежным углам. Обозначим длину NO как а, тогда длина MO будет равна 2a.

Так как NKO прямоугольный треугольник прямоугольный, то отсюда следует, что площадь треугольника MNO равна половине произведения катетов NО и MO.

Посчитаем расстояние от точки О до прямой MN. Из симметрии треугольника MNP выходит, что данное расстояние будет равно расстоянию от точки О до прямой MP. Для этого мы можем вычесть площадь треугольника MNO из площади треугольника MNP.

Площадь треугольника MNO составляет: (NO MO) / 2 = (a 2a) / 2 = 2a^2 / 2 = a^2

Площадь треугольника MNP составляет: (MN * NP) / 2

Из условия треугольника MNP мы знаем, что OK = 9 см, это означает, что PN = 2 * 9 = 18 см. Находим MN по теореме Пифагора: MN^2 = MP^2 + PN^2 = 2a^2 + 18^2.

Итак, S(треугольника MNO) = a^2
S(треугольника MNP) = (MN * NP) / 2 = (2a^2 + 18^2) / 2

Расстояние до прямой MN: d = S(треугольника MNP) - S(треугольника MNO) = (2a^2 + 18^2) / 2 - a^2 = a^2 + 162 - a^2 = 162

Таким образом, расстояние от точки О до прямой MN равно 162 см.