Докажите что биссектрисы внешних углов при вершинах B и C и биссектриса угла A пересекаются в одной точке

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта, обозначим точки пересечения биссектрис углов треугольника ABC следующим образом: точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине B и биссектрисы угла A обозначим как точку D, а точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине C и биссектрисы угла A обозначим как точку E.

Проведем биссектрису угла A. Поскольку биссектриса разбивает угол A на два равных угла, то углы CAD и BAD равны между собой.

Проведем биссектрису внешнего угла при вершине C. Точка E - это точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине С и биссектрисы угла A. Из свойства биссектрис углов следует, что углы ACE и BAE равны между собой.

Рассмотрим треугольники ACD и ABD. Углы ACD и BAC равны, так как они являются биссектрисами угла A. Углы CAD и BAD равны, как было доказано в пункте 1. Следовательно, эти два треугольника подобны.

Из подобия треугольников ACD и ABD следует, что углы ADB и ACD равны, поскольку они соответственно равны. То есть углы BDE и CDE равны между собой.

Получаем, что углы ACE и BAE равны, углы BDE и CDE равны, углы ACE и CDE равны. Это означает, что треугольники ACE и CDE подобны.

Из подобия треугольников ACE и CDE следует, что отрезок DE параллелен отрезку AC. Так как точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине C, то мы имеем, что DE проходит через точки E и C.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы внешних углов при вершинах B и C и биссектриса угла A пересекаются в одной точке (точке D).