Биссекрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите CD, если AD=8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Если биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются на стороне BC, то угол ABD равен углу DBC, а угол ADC равен углу ACB.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то углы ABD и DBC в сумме дают 180 градусов. Аналогично, углы ADC и ACB в сумме также дают 180 градусов.

Из условия задачи следует, что AD=8, значит, треугольник ADC является прямоугольным. Также, из сумм углов треугольников можно составить уравнения:

ABD + DBC = 180
ADC + ACB = 180

Так как углы ABD и DBC равны, а углы ADC и ACB равны, то ABD + DBC = ADC + ACB.
Заметим, что угол ABD равен углу BAC (из свойств параллельных прямых), а угол ADC равен углу ACD.
Тогда уравнение принимает вид:

BAC + BCA = ACD + ACD
2BCA = 2ACD
BCA = ACD

Так как треугольник ADC прямоугольный, то угол ACD равен 90 градусов. Из равенства углов BCA и ACD следует, что треугольник ABC равнобедренный.

Таким образом, длина CD равна длине BC, и треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным. Из этого следует, что CD=BC.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 8^2 + 8^2
BC^2 = 64 + 64
BC^2 = 128
BC = √128 = 4√2

Таким образом, CD=BC=4√2.