Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке D. Найдите сторону ВС, если AD = 3 см, а периметр треугольника АВС равен 22 см.
14 см
8 см
12 см
10 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны AB = a, AC = b, BC = c, радиус вписанной окружности равен r. Тогда по свойству касательной и радиуса вписанной окружности, точка касания (точка D) разбивает сторону AB на две отрезка в пропорциях. То есть AD = BD = s, где s - полупериметр треугольника ABC.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен:
AB + AC + BC = a + b + c = 22 см.

Также, полупериметр треугольника ABC равен:
s = (a + b + c) / 2 = 11 см.

Так как AD = BD = s, а также равны отрезки BD и CD (так как они являются радиусами вписанной окружности), получаем, что BC = 2 * s = 22 см - a.

Также, по формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r s = sqrt(s (s - a) (s - b) (s - c)).

Подставляем известные значения:
3 = r * 11
r = 3 / 11 см.

Теперь можем выразить площадь треугольника через стороны:
S = 3 * 11.

И в другую сторону:
S = sqrt(11 8 3 * (22 - a)).

Получаем уравнение:
33 = sqrt(264 * (22 - a)).

Далее, решая это уравнение, найдем a = 10 см, b = 12 см, c = 10 см.

Ответ: ВС = 10 см.