К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, которая пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и К соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АМК равен 14 см и АВ = АС = 10 см.
32 см
28 см
24 см
26 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Периметр треугольника AMK равен сумме сторон AM + AK + MK.
Так как треугольник AMK равнобедренный, то AM = AK, обозначим их за х.
Тогда периметр треугольника AMK равен 2х + MK = 14.
Так как AM = AK, то биссектриса угла А равна его высоте, а следовательно MK = MC - CK = AC/2 - CK = 10/2 - CK = 5 - CK.
То есть периметр треугольника AMK равен 2х + 5 - CK = 14, откуда 2х - CK = 9 (1).

Так как треугольник АВС равнобедренный, то АВС - прямоугольный треугольник.
Так как биссектриса угла А является высотой треугольника АВС, то мы можем записать уравнения:
h^2 + (b/2)^2 = АС^2, h^2 + (b/2)^2 = АВ^2,
где h - высота, b - основание треугольника.
Из условия задачи у нас h = b/2 = 5.
Тогда выразим значение стороны ВС через катеты прямоугольного треугольника:
ВС = sqrt(AC^2 + h^2) = sqrt(10^2 + 5^2) = sqrt(125) = 5sqrt(5).

Теперь можем найти периметр треугольника АВС:
Периметр = АВ + АС + ВС = 10 + 10 + 5sqrt(5) = 20 + 5sqrt(5) ≈ 30.
Ответ: 32 см.