Окружность (B,R) пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках P и T. Вычислите длину дуги окружности, расположенной внутри треугольника ABC , если известно, что BP=4 см и угол ABC=π/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем угол APC. Так как AP и TC - хорды, опирающиеся на одну дугу, то угол APC = угол ATC. Так как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны, то получаем, что угол APC = угол ATC = 2π/3.

Так как угол ABC = π/3, то треугольник ABC является равносторонним. Тогда AC = BC = 4 см.

Так как углы при вершине равнобедренного треугольника равны, то угол PBC = угол BCP = (π - π/3)/2 = π/6.

Теперь можем посчитать длину дуги PC, проходящей внутри треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой для длины дуги окружности: L = R*угол в радианах, где R - радиус окружности.

Так как угол APC = 2π/3, а угол APC = угол APB + угол BPC, то угол APB = π/3 - π/6 = π/6.

Тогда длина дуги PC равна L = Rугол BPC = Rπ/6.

Так как BP = 4 см, а BPC - прямоугольный треугольник, то из тригонометрических соотношений sin(π/6) = BP/R = 1/2 получаем, что R = 8 см.

Тогда длина дуги PC будет L = 8*π/6 = 4π/3 см.