Дан равносторонний треугольник авс длины сторон которого равны 1 вычислить выражение (ab,bc)+(bc,ca)+(ca,ab)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения длин сторон треугольника по формуле косинусов:

cos(60°) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
cos(60°) = (1 + 1 - c^2) / 2
c^2 = 1 + 1 - 2cos(60°)
c^2 = 2 - √3
c = √(2 - √3)

Теперь найдем длины отрезков ab, bc, ca:

ab = c = √(2 - √3)
bc = ca = 1
Таким образом, ab = √(2 - √3), bc = 1, ca = 1

Теперь вычислим скалярные произведения:
(ab,bc) = ab bc cos(60°) = √(2 - √3) 1 0.5 = 0.5√(2 - √3)
(bc,ca) = bc ca cos(60°) = 1 1 0.5 = 0.5
(ca,ab) = ca ab cos(60°) = 1 √(2 - √3) 0.5 = 0.5√(2 - √3)

Итого:
(ab,bc)+(bc,ca)+(ca,ab) = 0.5√(2 - √3) + 0.5 + 0.5√(2 - √3)
(ab,bc)+(bc,ca)+(ca,ab) = √(2 - √3) + 0.5 ≈ 1.36603.