Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите длину гипотенузы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, где a - меньший катет, b - больший катет.

Так как один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов, то треугольник оказывается равносторонним.

Так как гипотенуза треугольника равна $b$, то $a = b\sqrt{3}$ (так как в равностороннем треугольнике длина гипотенузы в $\sqrt{3}$ раз больше длины катета).

Итак, у нас есть уравнения:
$$
\begin{cases}
a + b = 42 \quad (1) \
a = b\sqrt{3} \quad (2)
\end{cases}
$$

Из уравнения (2) выразим $b$ через $a$: $b = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим в уравнение (1):
$$a + \frac{a}{\sqrt{3}} = 42$$
$$a\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 42$$
$$a = \frac{42\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{42\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = 42(3 - \sqrt{3}) = 42(3\sqrt{3} - 3) = 42(3\sqrt{3} - \sqrt{27}) = 42(3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}) = 42\sqrt{3} = b$$

То есть, гипотенуза равна $42\sqrt{3}$ см.