Точки А (4;-1), В (2;4), С (0;-1) являются вершинами параллелограмма ABCD.
a) Найдите координаты вершины D.
b) Докажите, что параллелограмм ABCD является ромбом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Для определения координат вершины D воспользуемся свойствами параллелограмма. Так как AC и BD - диагонали параллелограмма, то их точка пересечения - точка центра параллелограмма. Таким образом, для нахождения координат точки D можно использовать следующее равенство векторов:

D = A + C - B

D = (4;-1) + (0;-1) - (2;4) = (4 - 2; -1 - 4) = (2; -5)

Таким образом, координаты вершины D равны (2;-5).

b) Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является ромбом, необходимо доказать, что все стороны параллелограмма равны между собой.

Для этого вычислим длины сторон параллелограмма ABCD:

AB = √((2 - 4)^2 + (4 - (-1))^2) = √((-2)^2 + (5)^2) = √(4 + 25) = √29

BC = √((0 - 2)^2 + (-1 - 4)^2) = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29

CD = √((2 - 0)^2 + (-5 - (-1))^2) = √(2^2 + (-4)^2) = √(4 + 16) = √20

DA = √((4 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2) = √(2^2 + 0) = √4 = 2

Таким образом, AB = BC = CD = DA. Из этого следует, что параллелограмм ABCD является ромбом.