Две окружности равного радиуса касаются в точке C внешним образом. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса 6.5 в точках A и B.Определить площадь треугольника ABC, если AB=5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности, на которой лежат точки A, B и C, за R.

Так как окружности касаются третьей окружности извне, то отрезки CA и CB будут радиусами этой окружности. Поэтому BC = R + 6,5, а AC = R + 6,5.

Также можно заметить, что треугольник ABC равнобедренный, так как радиусы окружностей равны. Поэтому MC = MB = (AB - BC)/2 = (5 - (R + 6,5))/2 = (5 - R - 6,5)/2 = (-1,5 - R)/2.

Теперь в треугольнике MBC можем использовать теорему Пифагора:

(BC)^2 = (CM)^2 + (MC)^2
(R + 6,5)^2 = (-1,5 - R)^2 + (-1,5 - R)^2
R^2 + 13R + 42,25 = 2,25 + 3R + R^2
13R - 3R = 42,25 - 2,25
10R = 40
R = 4

Теперь можем найти длину сторон треугольника ABC:

BC = R + 6,5 = 10,5
AC = R + 6,5 = 10,5
AB = 5

Теперь можем вычислить площадь треугольника ABC по формуле Герона:

p = (AB + BC + AC)/2 = (5 + 10,5 + 10,5)/2 = 26/2 = 13

S = sqrt(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)) = sqrt(13(13 - 5)(13 - 10,5)(13 - 10,5)) = sqrt(1382,5*2,5) = sqrt(520) = 20

Ответ: площадь треугольника ABC равна 20.