Дан правильный тетраэдр DABC с ребром a. При симметрии относительно плоскости ABC точка D перешла в точку D1. Найти DD1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку тетраэдр DABC является правильным, то его вершины лежат на сфере, описанной вокруг треугольника ABC. При этом, точка D1 лежит на той же сфере, так как симметрия относительно плоскости ABC не приводит к изменению расстояния до центра сферы.

Таким образом, DD1 равно диаметру сферы, описанной вокруг треугольника ABC. Поскольку тетраэдр DABC правильный, сфера, описанная вокруг треугольника ABC, проходит через его вершины, и центр сферы совпадает с центром тетраэдра, в данном случае с точкой, в которой пересекаются медианы треугольника ABC.

Таким образом, DD1 равно двум радиусам сферы, выраженных через ребро тетраэдра a:

DD1 = 2 √2/3 a.