Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает прямую BC в точке M, причём BM=8, MC=5.
Найдите периметр параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения биссектрисы угла A с прямой BC обозначается как M, а точки пересечения биссектрисы угла A с стороной AD и стороной AB обозначаются как N и P соответственно.

Так как биссектриса угла A делит угол A пополам, то угол MAN = угол NAP = угол B. Также угол ABC = угол ADC, следовательно, угол MAC = угол NAD.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AB = BC. Получается, что треугольник MBC также равнобедренный. Отсюда следует, что AM = 5 и AC = 13 (8 + 5).

Треугольники AMN и NAD подобны по стороне и углу, значит, MN / ND = AM / AD. Получаем, что MN / ND = 5 / 13 (AM = 5, AD = 13). Из этого получаем, что ND = 2MN.

Теперь заметим, что треугольники NAD и ABC подобны. То есть, ND / AD = BC / AB. Подставляем данные и получаем, что 2MN / 13 = 8 / AB. Отсюда AB = 26 (8 13 / 2 5).

Так как параллограмм - это четырехугольник с противоположными сторонами, равными и параллельными, то AB = CD = 26 и BC = AD = 13.

Итак, периметр параллелограмма ABCD = 2(AB + BC) = 2(26 + 13) = 2 * 39 = 78.

Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 78.