В прямоугольнике тупой угол между диагоналями равна 120*. Найдите меньшую сторону прямоугольника, если диагональ равна 14 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через а, а большую - через b.
Так как угол между диагоналями прямоугольника равен 120, то это значит, что каждая диагональ делит прямоугольник на два равнобедренных треугольника.
Рассмотрим один из таких треугольников.
В нем угол между гипотенузой и одним из катетов равен 60, так как 180 - 90 - 30 = 60.
Оказывается, что такая ситуация возникает, когда прямоугольный треугольник содержит угол 30 или 60.

Теперь введем высоту h, проведенную в таком треугольнике на гипотенузу (диагональ).
Из свойств равнобедренного треугольника мы знаем, что h - биссектриса угла при основании треугольника. Это позволяет нам сказать, что основание равнобедренного треугольника (катет ab имеет длину ) равно длине меньшей стороны прямоугольника, а высота (половина большей стороны прямоугольника) равна большей стороне прямоугольника.

Начнем решение:

Найдем высоту h прямоугольного треугольника по формуле косинуса: cos(30) = h / 14.
cos(30) = √3 / 2
h = 14 √3 / 2 = 7 √3.Так как h равна половине большей стороны прямоугольника, можем записать: b = 2 h = 2 7 √3 = 14 √3.Меньшая сторона будет равна: a = 2 * (14/√3) = 28 / √3 = 28√3 / 3.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 28√3 / 3 см.