Треугольник АВС прямоугольный. Угол С прямой, АВ=6. Ромб FBDE имеет с треугольником общий угол В, точка Е лежит на стороне АС. Площадь ромба составляет 3/8 площади треугольника АВС. Найдите сторону ромба.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку треугольник АВС прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем AB² + BC² = AC², откуда 6² + BC² = AC², то есть BC = √(AC² - 36).

Так как ромб FBDE имеет с треугольником общий угол В, то BF = FE = ED, а также угол ABE = 90° (так как AC прямоугольный). Поэтому можно заметить, что ромб FBDE является четвертью квадрата ACEB.

Площадь треугольника АВС равна (1/2)ABBC = (1/2)6√(AC² - 36). Площадь ромба FBDE равна (1/4)ACFE = (1/4)ACBC. Так как площадь ромба составляет 3/8 площади треугольника, можно составить уравнение: (1/4)ACBC = (3/8)(1/2)6*√(AC² - 36).

Подставим BC = √(AC² - 36) в уравнение и упростим его:

(1/4)AC√(AC² - 36) = (3/8)3√(AC² - 36)
AC√(AC² - 36) = 3√(AC² - 36)
AC²(AC² - 36) = 9(AC² - 36)
AC^4 - 36AC² = 9AC² - 324
AC^4 - 45*AC² + 324 = 0

Это квадратное уравнение относительно AC². Решив его (например, с помощью квадратного уравнения), получаем два решения: AC² = 9 и AC² = 36. Так как AC является длиной стороны треугольника, а не её квадратом, то берем положительный корень и получаем AC = 3 или AC = 6.

Так как сторона ромба равна (1/4)*AC, то значение стороны ромба равно 3/4 или 3/2.