Внутри параллелограмма АВСD выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и АFD равна половине площади параллелограмма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения обозначим площади треугольников BFC и АFD как S1 и S2 соответственно.

Посмотрим сначала на сумму S1 + S2. Построим проведем высоты из вершин А и D, которые пересекутся в точке O. Тогда S1 равна половине произведения длины ВС на высоту, опущенную из вершины B на сторону СD, т.е. S1 = 0.5 ВС h1. А S2 равна половине произведения длины АD на высоту, опущенную из вершины A на сторону СD, т.е. S2 = 0.5 AD h2.

Таким образом, S1 + S2 = 0.5 ВС h1 + 0.5 AD h2 = 0.5 (ВС h1 + AD * h2).

Заметим, что ВС h1 равно площади параллелограмма, а AD h2 равно дважды площади треугольника AOD (так как AD = 2 OD). Поэтому S1 + S2 = 0.5 (площадь параллелограмма + 2 площадь треугольника AOD) = 0.5 площадь параллелограмма.

Таким образом, сумма площадей треугольников BFC и АFD равна половине площади параллелограмма.