Вычислить объем тела,образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры,ограниченной линиями xy=1, x=2 x=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим фигуру, ограниченную линиями xy=1, x=2 и x=6. Эта фигура представляет собой гиперболу, которая графически выглядит как узкое улиткообразное окончание.

Теперь найдем объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси ОХ. Для этого воспользуемся формулой для объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси:

V = ∫[a,b] π(f(x))^2 dx,

где f(x) - функция, задающая границы фигуры, а [a,b] - отрезок интегрирования (в данном случае от x=2 до x=6).

Так как гипербола xy=1 эквивалентна y=1/x, то для нахождения объема можно использовать следующий интеграл:

V = ∫[2,6] π(1/x)^2 dx = ∫[2,6] π/x^2 dx.

Выполним интегрирование:

V = -π/x |[2,6] = -π/6 + π/2 = π/3.

Итак, объем тела, образованного вращением узкой гиперболообразной фигуры вокруг оси ОХ, равен π/3.