Стороны AB, BC и AC треугольника касаются окружности с центром O в точках M, K и P соответственно так, что BM=5, PС=7, а периметр треугольника ABC равен 32. Найдите длину стороны AC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AM = x, BK = y, CP = z. Так как BM = 5, то AM = 5. Аналогично, так как PC = 7, то KP = 7.
Из периметра треугольника ABC равного 32 и тождества в равенстве четырехугольника:
AB + BC + AC = AM + BM + BK + KP + PC + CP = AM + BM + KP + PC + CP + BK = AP + CK + BM =
= 2r(р радиус окружности O) => 10y + 12 = 2r => 5y + 6 = r.
Из круга имеем AP = AK, CK = BK. Пусть AK = CK = M. Треугольник AMK прямоугольный, так как AO, BP и CK радиусы, их перпендикулярны касательным в точках касания. Тогда по теореме Пифагора:
5^2 + y^2 = M^2, 7^2 + y^2 = M^2. Сравнивая уравнения, находим y = 24/|3| = 8, и длина стороны треугольника AC равна CP = z = 25.