Ребро куба равна 3 см найти синус угла между диагональю и плоскостью одней из его граней

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем длину диагонали куба. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
Диагональ = √(сторона^2 + сторона^2 + сторона^2) = √(3^2 + 3^2 + 3^2) = √27 = 3√3 см.

Теперь найдем синус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней. Заметим, что диагональ куба является диагональю на его грани. Под углом между двумя диагоналями по заданию подразумевается угол между плоскостями, в которых находятся данные диагонали, так как в трехмерном пространстве диагонали куба могут располагаться в разных плоскостях.

Синус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней можно найти как отношение модуля векторного произведения векторов, лежащих в этих плоскостях, к произведению модулей самих векторов:
sin(α) = |n m| / (|n| |m|),

где n и m - вектора, лежащие в плоскости, α - угол между ними.

Найдем сначала векторный произведение этих векторов и модули векторов:
|n| = |m| = 3 см (длина диагонали куба),
|n m| = |n| |m| sin(α) = (3) ^ 2 sin(α) = 9 * sin(α),

Таким образом, sin(α) = 9 sin(α) / (3 3) = 3 sin(α) / 3 = sin(α). Отсюда видно, что sin(α) = 1.

Итак, синус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней равен 1.