Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием AC=4. Радиус окружности, которая касается основания АC и касается продолжения сторон ВА и ВС, равен 4. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, и боковую сторону

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Так как радиус описанной окружности равен 4, то по теореме о касательных к окружности, мы получаем, что угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90 градусов. Значит, треугольник AOB является прямоугольным.

Так как треугольник ABC равнобедренный и BC = AC = 4, то из прямоугольного треугольника ABC получаем, что AB = 4√2.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику AOB:
(2r)^2 + (4√2)^2 = (2R)^2

4r^2 + 32 = 16R^2

Также, так как радиус описанной окружности равен 4, то 4R = AB = 4√2 => R = √2

Подставляя это значение в уравнение, получаем:
4r^2 + 32 = 16
4r^2 = 16 - 32
4r^2 = -16
r^2 = -4
r = √(-4) = 2i

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2i, а боковая сторона треугольника ABC равна 4√2.