На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F.Оказалось,что отрезок AF пересекает медиану BD в точке Е ,что АЕ = BC .Докажите ,что BF =FE

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: треугольник ABC, точка F на стороне BC, отрезок AF пересекает медиану BD в точке E, AE = BC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AEF и BCF.Так как AE = BC, то угол AFE = угол BCF (по условию) и угол AEF = угол BFC (по построению и определению соответствующих углов).Таким образом, у треугольников AFE и BCF две пары углов, равных друг другу.Следовательно, данные треугольники подобны.Из подобия треугольников получаем, что отношение сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника одинаково.То есть, AF/FC = AE/EB.Учитывая, что AE = BC, получаем AF/FC = BC/EB.Так как FC = FC, то AF = BC*EB/FC.Также, AF = AB - BF (по построению).Из (8) и (9) следует, что AB - BF = BC*EB/FC.Заметим, что AB = 2BD (по свойству медианы) и EB = BD/2 (так как точка E делит медиану на две равные части).Подставляем AB и EB в (10): 2BD - BF = BC*(BD/2)/FC.Преобразуем это выражение: 2BD - BF = BD*BC/2FC.Умножаем обе части на 2FC: 4BD - 2BF = BD*BC.Делим обе части на BD: 4 - 2(BF/BD) = BC.Замечаем, что BF/BD = BE/BD = 1/2 (по определению точки E и ее отношения к медиане).Подставляем BF/BD = 1/2 в (15): 4 - 2*(1/2) = BC.Выполнив простые вычисления, получаем: 4 - 1 = 3 = BC.Значит, BF = FE = BC/2 = 3/2.Таким образом, доказано, что BF = FE.