В кубе abcda1b1c1d1 на ребре dd1 выбрана точка e так, что de:ed1=1:3. Вычислите косинус угла между прямыми ae и ce.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек a, c, d и e.

Пусть координаты точки a = (0, 0, 0), тогда координаты точки d = (1, 0, 0). Так как e лежит на отрезке dd1 и de:ed1=1:3, то координаты точки e = (1, 0, 0) + (1/4*(1-1), 0, 0) = (1/4, 0, 0). Так как abcda1b1c1d1 - куб, то координаты точек b, c, a1, b1 и c1 можно найти, зная координаты a и d.

b = (1, 1, 0), a1 = (0, 1, 0), b1 = (0, 1, 1), c = (1, 1, 1), c1 = (0, 0, 1).

Теперь вычислим векторное произведение между векторами ae и ce и найдем их скалярное произведение:

ae = e - a = (1/4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1/4, 0, 0),
ce = e - c = (1/4, 0, 0) - (1, 1, 1) = (-3/4, -1, -1).

Теперь найдем косинус угла между векторами ae и ce:

cos(angle) = (ae ce) / (|ae| |ce|),
где * обозначает скалярное произведение векторов.

ae ce = (1/4 (-3/4) + 0 (-1) + 0 (-1)) = -3/16,
|ae| = sqrt((1/4)^2 + 0^2 + 0^2) = 1/4,
|ce| = sqrt((-3/4)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = sqrt(9/16 + 1 + 1) = sqrt(29/16) = √29/4.

Теперь подставляем значения в формулу:

cos(angle) = (-3/16) / ((1/4) * (√29/4)) = -3 / 4√29 = -3√29 / 116.

Таким образом, косинус угла между прямыми ae и ce равен -3√29 / 116.