Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что площади треугольников AMB, BMC и AMC равны. Докажите, что M – точка пересечения медиан данного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что внутри треугольника ABC точка M делит каждую медиану в отношении 2:1, то есть AM:MC = BM:MA = CM:MB = 2:1.

Пусть G – центр тяжести треугольника ABC (точка пересечения медиан). Тогда по свойству центра тяжести BM:MA = CG:GA = 1:2.

Рассмотрим теперь площади треугольников AMB и BMC:
S(AMB) = S(AMC) = S(BMC) = 1/3 * S(ABC),
где S(XYZ) обозначает площадь треугольника XYZ.

Так как S(AMB) = S(BMC), то BM делит AC пополам (по площадям).

Аналогично, S(AMB) = S(AMC), то CG делит AB пополам, следовательно точка G – середина стороны AB.

Таким образом, точка M так же является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.